欧氏距离、曼哈顿距离与切比雪夫距离详解

1. 前言

在数学、机器学习和数据科学中，距离度量是衡量两个向量之间差异程度的核心工具。不同的距离定义适用于不同的场景，合理选择距离度量能直接影响模型的性能与结果的准确性。

本文将详细介绍三种最基础也是最常用的距离度量——欧氏距离、曼哈顿距离和切比雪夫距离，涵盖定义、公式、二维示意图、代码实现及实际应用场景。

2. 通用定义：Lp 范数与闵可夫斯基距离

三种距离可以被统一在闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）的框架下：

$$
D_p(x, y) = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p \right)^{1/p}
$$

其中：

$n$ 为空间的维度；
$p$ 是一个参数，决定了距离的类型；
当 $p = 1$ 时为曼哈顿距离；
当 $p = 2$ 时为欧氏距离；
当 $p \to \infty$ 时为切比雪夫距离。

理解这一统一关系后，下面分别展开讨论每种距离。

3. 欧氏距离（Euclidean Distance）

3.1 定义

欧氏距离是日常生活中最直观的”直线距离”——连接两点之间的最短线段长度。

3.2 公式

对于 $n$ 维空间中的两点 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 和 $y = (y_1, y_2, \dots, y_n)$，欧氏距离定义为：

$$
d_{\text{euclidean}}(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \dots + (x_n - y_n)^2}
$$

即：

$$
d_{\text{euclidean}}(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}
$$

3.3 二维示例

二维平面上点 $A(1, 1)$ 和点 $B(4, 5)$：

$$
d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$

3.4 几何意义

欧氏距离对应直角三角形斜边的长度，本质是勾股定理在高维空间的推广。

3.5 Python 实现

import math

def euclidean_distance(x: list[float], y: list[float]) -> float:
    """计算两个向量之间的欧氏距离"""
    if len(x) != len(y):
        raise ValueError("向量维度必须一致")
    return math.sqrt(sum((xi - yi) ** 2 for xi, yi in zip(x, y)))

# 示例
a = [1, 1]
b = [4, 5]
print(euclidean_distance(a, b))  # 输出: 5.0

# 使用 numpy
import numpy as np
print(np.linalg.norm(np.array(a) - np.array(b)))  # 输出: 5.0

3.6 应用场景

K-Means 聚类：默认使用欧氏距离作为样本与聚类中心的相似度度量；
KNN 算法：最常用的距离度量方式；
三维空间物理距离计算：地理坐标、计算机视觉中的点云配准。

4. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）

4.1 定义

曼哈顿距离又称城市街区距离（City Block Distance）或 L1 距离，度量的是两点在各个坐标轴方向上的绝对差值之和。名称源于曼哈顿的棋盘式街道布局——车辆只能沿垂直或水平方向行驶，无法直接穿越大楼走直线。

4.2 公式

对于 $n$ 维空间中的两点 $x$ 和 $y$：

$$
d_{\text{manhattan}}(x, y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + \dots + |x_n - y_n|
$$

即：

$$
d_{\text{manhattan}}(x, y) = \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|
$$

4.3 二维示例

二维平面上点 $A(1, 1)$ 和点 $B(4, 5)$：

$$
d = |4-1| + |5-1| = 3 + 4 = 7
$$

与欧氏距离（等于 5）相比，曼哈顿距离更大——因为曼哈顿距离走的是”直角折线”，而非直线。

4.4 几何意义

在二维网格中，曼哈顿距离等于从起点到终点所经过的最短网格路径长度（只能沿横轴或纵轴移动）。

4.5 Python 实现

def manhattan_distance(x: list[float], y: list[float]) -> float:
    """计算两个向量之间的曼哈顿距离"""
    if len(x) != len(y):
        raise ValueError("向量维度必须一致")
    return sum(abs(xi - yi) for xi, yi in zip(x, y))

# 示例
a = [1, 1]
b = [4, 5]
print(manhattan_distance(a, b))  # 输出: 7

# 使用 numpy
import numpy as np
print(np.sum(np.abs(np.array(a) - np.array(b))))  # 输出: 7

4.6 应用场景

L1 正则化（Lasso 回归）：L1 范数作为惩罚项，可产生稀疏权重向量；
八数码问题/拼图游戏：使用曼哈顿距离作为启发式函数计算 A* 搜索的估算代价；
图像处理：计算像素差异的绝对误差和（SAD）。

5. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）

5.1 定义

切比雪夫距离又称棋盘距离，定义为两点在各坐标轴上坐标差绝对值的最大值。在国际象棋中，国王每次可以向任意方向（横、竖、斜）移动一格，从一格走到另一格所需的最少步数即为切比雪夫距离。

5.2 公式

对于 $n$ 维空间中的两点 $x$ 和 $y$：

$$
d_{\text{chebyshev}}(x, y) = \max_{i} , |x_i - y_i|
$$

展开为：

$$
d_{\text{chebyshev}}(x, y) = \max(|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, \dots, |x_n - y_n|)
$$

5.3 二维示例

二维平面上点 $A(1, 1)$ 和点 $B(4, 5)$：

$$
d = \max(|4-1|, |5-1|) = \max(3, 4) = 4
$$

5.4 几何意义

在二维棋盘格上，切比雪夫距离代表国王从一格走到另一格所需的最少步数——因为国王可以沿对角线移动，所以步数取决于两个坐标差中较大的那个。

5.5 Python 实现

def chebyshev_distance(x: list[float], y: list[float]) -> float:
    """计算两个向量之间的切比雪夫距离"""
    if len(x) != len(y):
        raise ValueError("向量维度必须一致")
    return max(abs(xi - yi) for xi, yi in zip(x, y))

# 示例
a = [1, 1]
b = [4, 5]
print(chebyshev_distance(a, b))  # 输出: 4

# 使用 numpy
import numpy as np
print(np.max(np.abs(np.array(a) - np.array(b))))  # 输出: 4

5.6 应用场景

棋盘游戏 AI：评估棋盘上两棋子间所需最少步数；
仓库机器人路径规划：在允许斜向移动的网格环境中计算最短步数；
极大值优化问题：Tchebycheff 标量化方法在多目标优化中用于近似 Pareto 前沿。

6. 三种距离对比

6.1 同一示例对比

设 $A(1, 1)$，$B(4, 5)$：

距离类型	计算结果	含义
欧氏距离	$5$	直线最短路径
曼哈顿距离	$7$	仅横/纵移动的路径
切比雪夫距离	$4$	允许斜向移动的最短步数

三者大小关系：切比雪夫距离 ≤ 欧氏距离 ≤ 曼哈顿距离（当 $p$ 增大时，Lp 距离单调递减或不变）。

6.2 等高线（等距线）对比

以原点为中心的单位等距线（二维空间）：

欧氏距离：圆形（$x_1^2 + x_2^2 = 1$）
曼哈顿距离：菱形（$|x_1| + |x_2| = 1$）
切比雪夫距离：正方形（$\max(|x_1|, |x_2|) = 1$）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def plot_distance_contours():
    """绘制三种距离的等距线"""
    # 生成网格点
    pts = np.linspace(-1.5, 1.5, 300)
    x1, x2 = np.meshgrid(pts, pts)

    # 计算三种距离
    euc = np.sqrt(x1**2 + x2**2)
    man = np.abs(x1) + np.abs(x2)
    che = np.maximum(np.abs(x1), np.abs(x2))

    fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(14, 4.5))

    titles = ['欧氏距离 (p=2)', '曼哈顿距离 (p=1)', '切比雪夫距离 (p=∞)']
    data = [euc, man, che]

    for ax, dist, title in zip(axes, data, titles):
        ax.contourf(x1, x2, dist, levels=20, cmap='Blues', alpha=0.6)
        ax.contour(x1, x2, dist, levels=[1], colors='red', linewidths=2)
        ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
        ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
        ax.set_aspect('equal')
        ax.set_title(title)
        ax.set_xlabel('x1')
        ax.set_ylabel('x2')

    plt.tight_layout()
    plt.savefig('distance_contours.png', dpi=150)
    plt.show()

# plot_distance_contours()  # 取消注释以运行

图中红色粗线代表距离等于 1 的等距线，可以直观看到欧氏距离为圆形、曼哈顿距离为菱形、切比雪夫距离为正方形。

6.3 选择指南

场景	推荐距离	原因
连续特征、无异常值	欧氏距离	符合几何直觉
高维稀疏数据	曼哈顿距离	对高维空间中的”距离集中”现象更鲁棒
各维度尺度一致、网格路径	切比雪夫距离	仅关心最大差值
异常值敏感场景	曼哈顿距离	L1 对大偏差的惩罚比 L2 小